Im Normalfall sollte eine Tür nicht geöffnet werden, solange keine Pol da ist. Da ist es egal, ob FR-Einsatz oder regulärer FW-Einsatz, wobei bei letzterem meistens eh schon Pol vor Ort ist, da ja diese meistens zur Türöffnung die FW anfordert.
Natürlich gibt es Ausnahmen, aber Details kann man von der Leitstelle bekommen. Wenn beispielsweise jemand mit Herzbeschwerden anruft, sich aber dann nicht mehr meldet, muss man von Schlimmeren ausgehen und in diesem Fall würde ich nach Rücksprache mit der LSt die Tür öffnen.

Zur Frage, wer den Ziehfix bezahlt, gibts eine einfache Antwort: Einfach vom LF(oder wo er sonst auch immer drauf ist), auf den FR packen. Der rückt bei Notfällen eh mit aus.
Und um die Ausbildungsfrage zu klären: Das wird ganz einfach so gehandhabt wie mit "normalen" FA. Sie bekommen ihre Kenntnisse im Rahmen der Feuerwehrausbildung.