Bei dem von dir zitierten Text geht es um den Begriff der versicherten Tätigkeit.
Für den Versicherungsfall ist individuell die Frage zu entscheiden, ob der Unfall ursächlich wesentlich auf die versicherte Tätigkeit zurückzuführen ist (sog. haftungsbegründender Zusammenhang). Der Unfall muss seine wesentliche Ursache also in der versicherten Tätigkeit haben.

Ein bloßer zeitlicher oder räumlicher Zusammenfall von Unfall und versicherter Tätigkeit reicht nicht aus.

(1) Arbeitsunfälle sind Unfälle von Versicherten infolge einer den Versicherungsschutz nach § 2, 3 oder 6 begründenden Tätigkeit (versicherte Tätigkeit). Unfälle sind zeitlich begrenzte, von außen auf den Körper einwirkende Ereignisse, die zu einem Gesundheitsschaden oder zum Tod führen.
SGB VII §8

"infolge" nicht "bei" oder "während einer versicherten Tätigkeit"