Ich wage mal den Versuch einer Antwort auf deine letzte Frage:
Die HiOrgs und der BSD sind privatrechtliche Orgs, der Rest ist öffentl. Verwaltung. Laut RDG NRW ist auch der HiOrg u. Privat-RD Verwaltungshelfer, die HiOrg als solche wohl nicht.
Gesetz
über den Rettungsdienst sowie die Notfallrettung
und den Krankentransport durch Unternehmer (RettG):
Mitwirkung freiwilliger Hilfsorganisationen und anderer
(1) Die Durchführung von Aufgaben nach § 9 Abs. 1 soll durch Vereinbarung
auf freiwillige Hilfsorganisationen übertragen werden, wenn deren
Leistungsfähigkeit gewährleistet ist und ein Bedarf besteht. Auf andere
kann die Durchführung von Aufgaben nach § 9 Abs. 1 übertragen werden,
soweit die Voraussetzungen nach Satz 1 gegeben sind. In der Vereinbarung
ist die Zusammenarbeit mit den übrigen am Rettungsdienst Beteiligten zu
regeln.
(2) Die nach Absatz 1 am Rettungsdienst Beteiligten handeln als
Verwaltungshelfer nach den Anweisungen der Träger rettungsdienstlicher
Aufgaben. Diese sind berechtigt, deren Einrichtungen, soweit sie für den
Rettungsdienst zur Verfügung stehen, in personeller und sachlicher
Hinsicht auf Ordnungsmäßigkeit und Leistungsstand zu überprüfen.