Nein. Anhand deiner Messergebnisse sieht die Zusatzbatterie doch gut aus. 12,3-12,4V sind optimal. Beim laufenden Motor erzeugt der Generator die nötige Ladespannung von 13,8V - 14,6 V.
Hast du nochmal die Spannung gemessen, während der Akkuwächter gepiet hat? Der sollte erst warnen, wenn die Entladeschlussspannung erreicht ist (10,5V).

Wenn das S/E-Gerät bei 12,3V ausgeht, scheint der Fehler doch eher im S/E-Teil.

Kannst du das S/E-Gerät nicht gegen eines Tauschen, von dem du weißt, dass es i.O. ist?