Das heißt leider noch nicht, dass Daten fließen.
Wir müssen hier auch unterscheiden

1. Probleme Handy schlafend WLAN an
2. Problem Handy an WLAN an

So wie ich es hier rauslese, tritt nur bei dir Problem 2 auf. Vielleicht ist es eine Option die App mal neu zu installieren und ggf. das ganze Android System neu aufzusetzen, mit Werksreset. Zuvor würde ich aber mal in einem anderen WLAN mit völlig untersch. Router testen!!

Zu Problem 1 vermute ich auch fast die Fritzbox und irgendwelche Energiesparmechanismen (Einstellungen dazu finde ich nicht, Expertenmodus), habe aber auch ein Defy mit dem ich mal einen Dauertest machen werde.