Steckernetzteil weg , 12 V Gleichspannung dran , fertig . Im PB-Lader sitzt ein Brückengleichrichter der die eigentlichen 12V AC aus dem Steckernetzteil gleichrichtet - also ist es sogar egal wo Du + und - am Kabel anschließt.
PS : Häng das LG nicht auf Dauerplus , sondern auf Klemme 15 :-)

Joe