Shinzons vorschlag sollte klappen...

Dein Schaltungsaufbau kann so nicht funktionieren, weil du zum Durchsteuern des Transistors mindestens 0,7V differenz zwischen Basis und Emitter brauchst. Den Spannungsabfall am Basiswiderstand lassen wir mal aussen vor.

Wenn dein Transistor Sperrt, ist die Spule die Verbindung zu GND. Also liegt der Emitter auf 0V.
Da lässt er sich dann auch noch Durchsteuern. Aber eben nur so weit, bis der Strom so hoch ist, dass an der Spule 7V-0,7V, also 6,3V abfallen. Dann pendelt sich der Transistor irgendwo ein.
Bei manchen Relais mögen diese 6,3 V ausreichen, um anzuziehen. Aber die feine Art ist das nicht.
Wenn die Schaltung nun diesen Zustand erreicht hat, müssen fast nochmal 6V im transistor verheizt werden. Je nach Kenndaten der Spule (Strom) wird er sich dabei recht schnell zum Indianertelefon (Rauchzeichengeber) entwickeln...

dazu nochmal: Dein Vorwiderstand ist recht groß für einen Bipolartransistor.
such dir mal die Verstärkung B für den Transistor raus. B= 100 (fitkiv, keine Ahnung,was der kann)bedeutet zum Beispiel, dass du bei 1mA Basisstrom einen Collectorstrom von 100mA erreichen kannst. Wenn wir dem Relais nun 300-400 mA geben müssen (auch nur angenommen), brauchst du in der Basis 3-4mA. Um bei 7V abzüglich der 0,7V Ube noch auf 4 mA zu kommen, darf der Widerstand maximal R= U/I, R=6,3V/ 0,004A = ~1,5kOhm haben.
Besser ist es aber mit einer Übersteuerung zu arbeiten, um sicherzustellen,dass der Transistor voll durchsteuert. Also lieber den doppelten bis dreifachen Basisstrom einstellen. Dabei aber auf den max Basisstrom achten.

Google Tip: "Transistor als Schalter"

Ich hoffe, dir damit ein wenig zum Verständnis beigetragen zu haben. Sonst einfach nochmal melden.

Gruß